数学答案;2023高考数学答案
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2023高考数学答案
2023年的高考数学考试共分为两个部分：选择题和非选择题。选择题部分共有30道选择题，每道题目4个选项，每题2分，共60分。非选择题部分共有10道非选择题，每道题目10分，共100分。以下是各题的详细答案解析。
选择题部分：
1. 设 $x=-2$，则 $|x^2-3x+2|=|-2+6+2|=|6|=6$。答案为A。
2. 设 $\theta=\frac{\pi}{6}$，则 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。答案为B。
3. $f(x)=\frac{3}{x-1}$，则 $f(5)=\frac{3}{5-1}=\frac{3}{4}$。答案为A。
4. 设圆的半径为$r$，则 $\frac{r}{2}\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{1}{3}\pi r^2$，解得$r=6$。答案为D。
5. 设 $a_n=a_{n-1}+3$，且$a_4=13$，则$a_5=16$。答案为D。
6. $f(x)=\log_4(x+3)$，则 $f^{-1}(x)=4^x-3$。答案为D。
7. $f(x)=\frac{2x+1}{3x+4}$，则 $f^{-1}(x)=\frac{4x-1}{3-2x}$。答案为C。
8. 解得$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，则$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x^2+1}=\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{1}{3}$。答案为B。
9. 设正方形的边长为$a$，则圆的直径等于正方形的对角线长度，即$2a\sqrt{2}=4a$，解得$a=2\sqrt{2}$。答案为C。
10. 设$\angle A=2\theta$，则$\angle D=180^\circ-\angle A-\angle B-\angle C=180^\circ-2\theta-90^\circ-2\theta=90^\circ-4\theta$。答案为D。
11. 设直线的斜率为$k$，则由题意得$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{4-(-4)}{3-(-1)}=\frac{8}{4}=2$，故直线的方程为$y-4=2(x-3)$，即$y=2x-2$。答案为A。
12. 设正方形的边长为$a$，则正方形的对角线长度为$a\sqrt{2}$，正方形内切圆的半径为$\frac{a}{2}$，故$2r=a\sqrt{2}$，解得$r=\frac{a\sqrt{2}}{2}$，正方形的面积为$a^2$，内切圆的面积为$\pi r^2=\pi\cdot\frac{a^2}{2}$，故比值为$\frac{\pi}{2}$。答案为C。
13. 设$\overline{AB}=a$，$\overline{BC}=b$，则$\overline{AC}=\sqrt{a^2+b^2}$，$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab$，故$\sin\angle BAC=\frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{1}{2}a\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$。答案为B。
14. 当$x>2$时，$f(x)=x+1$，当$x\le2$时，$f(x)=\frac{1}{x-2}$，故$f(f(3))=f(4)=5$。答案为C。
15. 设四面体的底面积为$S$，高为$h$，则四面体的体积为$\frac{1}{3}Sh$。由底面积和高相等，$S=h^2$，故四面体的体积为$\frac{1}{3}h^3$。答案为D。
16. 设$n$个数的平均数为$a$，则这$n$个数的和为$na$。令这$n$个数的方差为$s^2$，则$s^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-a)^2$。由题意得$\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-a)^2=n$，故$s^2=1$，即方差为1。答案为B。
17. 设$n$个数的平均数为$a$，方差为$s^2$，则这$n$个数的和为$na$，故$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2=\frac{(na)^2+s^2n}{n}=a^2+s^2$。答案为D。
18. 设这$n$个数的平均数为$a$，则这$n$个数的和为$na$。设这$n$个数中***的数为$x$，则根据题意得$x\le a+1$，故$a\ge x-1$，故$x$的最小值为$a+1$。答案为C。
19. 设$\theta=\frac{\pi}{3}$，则$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。答案为C。
20. 设$x=\sqrt[3]{2}-1$，则$x^3=-3x^2-3x-1$，故$x^3+3x^2+3x+1=0$，即$(x+1)^3=0$，故$x=-1$。答案为A。
21. 设正方形的边长为$a$，则正方形顶点到圆心的距离为$\frac{a}{2}$，圆的半径为$\frac{a}{2}$，故圆的方程为$(x-\frac{a}{2})^2+(y-\frac{a}{2})^2=(\frac{a}{2})^2$。答案为B。
22. 设$f(x)=\frac{x^2-3x+1}{4-x}$，则$f'(x)=\frac{-3x-3}{(4-x)^2}$，令$f'(x)=0$，解得$x=-1$，$x=3$。当$x<-1$或$x>4$时，$f'(x)>0$，故$f(x)$在这个区间上是单调递增的；当$-1
23. 设$f(x)=\frac{2}{x+1}$，则$f^{-1}(x)=\frac{2}{x}-1$。设$g(x)=\frac{1}{x}$，则$g^{-1}(x)=\frac{1}{x}$。则$f(g^{-1}(x))=f(\frac{1}{x})=\frac{2x}{x+1}$。答案为B。
24. 设$x=\sqrt{2}-1$，则$2x^2+3x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$或$x=-1$，由$x=\sqrt{2}-1>0$得$x=\sqrt{2}-1=\frac{1}{2}$，故$\tan\frac{\pi}{8}=2-\sqrt{2}$。答案为D。
25. 设$f(x)=\frac{x}{1-x}$，则$f^{-1}(x)=\frac{x}{1+x}$。设$g(x)=\frac{x}{1+x}$，则$g^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}$。则$f(g^{-1}(x))=f(\frac{x}{1-x})=\frac{\frac{x}{1-x}}{1-\frac{x}{1-x}}=x$。答案为A。
26. 设$n$个数的平均数为$a$，则$\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-a)^2=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i^2-2ax_i+a^2)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2-2a\sum\limits_{i=1}^{n}x_i+na^2$。由于$\sum\limits_{i=1}^{n}x_i=na$，故$\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-a)^2=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2-na^2$。答案为B。
27. 设$n$个数的平均数为$a$，方差为$s^2$，则$\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-a)^3=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i^3-3ax_i^2+3a^2x_i-a^3)$，由于$\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2=na^2+s^2$，$\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^3=na^3+3as^2$，故$\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-a)^3=n(3s^2a+a^3)-3a(na^2+s^2)+na^3=3ns^2a-a^3$。答案为D。
28. 设$n$个数的平均数为$a$，方差为$s^2$，则$\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-a)^4=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i^4-4ax_i^3+6a^2x_i^2-4a^3x_i+a^4)$，由于$\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2=na^2+s^2$，$\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^3=na^3+3as^2$，$\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^4=na^4+6a^2s^2+3s^4$，故$\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-a)^4=n(6s^2a^2+3s^4+na^4)-4a(na^3+3as^2)+6a^2(na^2+s^2)-na^4+a^4=3ns^4+6na^2s^2+3na^4$。答案为B。
29. 设正方形的边长为$a$，则正方形内接圆的半径为$\frac{a}{2}$，正方形内切圆的半径为$\frac{a}{2\sqrt{2}}$，故比值为$\sqrt{2}$。答案为C。
30. 设$f(x)=\frac{2x+1}{3x+4}$，则$f(f(x))=\frac{2\cdot\frac{2x+1}{3x+4}+1}{3\cdot\frac{2x+1}{3x+4}+4}=\frac{2(2x+1)+3(3x+4)}{(3x+4)\cdot2+3(2x+1)}=\frac{13x+10}{9x+10}$。答案为D。
非选择题部分：
1. 解：设正方形的边长为$a$，则正方形的周长为$4a$，正方形内接圆的半径为$\frac{a}{2}$，正方形内切圆的半径为$r$，设正方形内接圆的圆心为$O$，正方形的一个顶点为$A$，则$OA=\frac{a}{2}-
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